O Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada possui diversas linhas de pesquisa, concentradas nas áreas de Matemática Pura e de Matemática Aplicada. Dentro de cada linha de pesquisa, vários tópicos são estudados, como detalhados abaixo.
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Álgebra é a área da matemática que trata do estudo de conjuntos com operações (principalmente binárias). Tais operações muitas vezes são classificadas entre associativas ou não-associativas. Dentro das álgebras associativas, seus principais objetos de estudo são as álgebras de matrizes no caso de dimensão finita, mas também outras álgebras (de dimensão infinita), como álgebras livres e a álgebra de Grassmann. Além disso, também são estudadas estruturas adicionais nestas álgebras (como graduações, involuções, etc), e álgebras satisfazendo identidades polinomiais. No caso de álgebras não-associativas, um tipo muito especial são as Álgebras de Lie. Estas se destacam pela ampla gama de aplicações dentro da matemática. Nessa linha de pesquisa, focamos principalmente no estudo de representações das álgebras de Lie, em particular, representações de álgebras de Lie de dimensão infinita relacionadas a grupos quânticos como, por exemplo, álgebras de correntes, álgebras de laços, álgebras de funções equivariantes, seus módulos de Weyl, extensões e cohomologias. Um outro tópico desenvolvido no nosso programa dentro da linha de álgebra, é o de bases computacionais. Estes são uma ferramenta muito interessante para a solução de vários problemas de álgebra ou de aplicações, e compõem a ideia central da teoria de anéis, sob a ótica da álgebra computacional, fornecendo soluções algorítmicas para problemas envolvendo ideais.
Dessa forma, no nosso programa, os principais tópicos de pesquisa dentro dessa linha são:
- Álgebras de Lie e suas representações
- Álgebras não-comutativas
- Bases computacionais
- Identidades polinomiais em álgebras
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É a linha de pesquisa onde o conceito de função e suas generalizações são estudadas através de métodos infinitesimais. Na natureza, inúmeros processos e fenômenos naturais tais como as leis do movimento são caracterizados por funções. O estudo de Equações Diferenciais começa com a criação do Cálculo Diferencial e Integral e é guiado, inicialmente, por suas aplicações à Mecânica Clássica. Tratar os problemas utilizando o Cálculo Diferencial foi um enorme estímulo aos físicos e matemáticos na procura de modelos para problemas da Mecânica e de outros ramos da Física, que expressem os fenômenos em termos de Equações Diferenciais. A tentativa de obter uma solução do problema da condução do calor em uma barra satisfazendo, além da equação diferencial, certas condições iniciais ou condições de fronteira exige ferramentas avançadas, que estão relacionadas à Análise Funcional, nesse caso as séries de Fourier. Dessa forma, a Análise Funcional desempenha um papel cada vez mais importante nas Ciências aplicadas, bem como na própria Matemática. Consequentemente, torna-se necessário estudar esse ramo da Matemática para realizar pesquisas na área de Equações Diferenciais. No nosso programa, estes dois aspectos da análise matemática são estudados: Análise Funcional e Equações Diferenciais. A Análise Funcional é o ramo de análise matemática que trata funcionais ou funções de funções. Pode ser caracterizada pelo estudo de espaços vetoriais munidos de alguma estrutura associada ao conceito de limite, como um métrica ou uma topologia, e funcionais definidos sobre esses espaços respeitando essas estruturas em um sentido adequado. Surgiu como uma área distinta no início do século 20 quando foi descoberto que diversos processos matemáticos, da aritmética ao cálculo, poderiam ser generalizados. Dentro desta área existem diversos grupos de interesse como aspectos topológicos e geométricos da teoria dos espaços de Banach, análise harmônica, análise funcional não linear, etc. O estudo moderno desta área envolve diversas disciplinas como teoria da medida, topologia geral e também métodos combinatórios como teoria de Ramsey. As Equações Diferenciais constituem hoje uma ferramenta importantíssima na modelagem matemática e na análise de fenômenos naturais relacionados as mais diversas áreas do conhecimento, como Engenharia, Física, Química, Biologia e Economia. No estudo de tais modelos matemáticos, pode-se identificar alguns estágios de fundamental importância: modelagem do fenômeno de interesse; boa colocação do problema; estabilidade assintótica com relação às perturbações; avaliação do modelo segundo o fenômeno modelado. Tais estágios estão intimamente ligados às propriedades qualitativas do modelo, evidenciando a necessidade da realização de estudos qualitativos cuidadosos das equações diferenciais envolvidas, que podem ser equações diferenciais ordinárias, parciais, funcionais, parciais-funcionais ou discretas. Entender o comportamento qualitativo dessas equações pode ajudar a entender o comportamento desses modelos e a interpretar fenômenos naturais.
Dessa forma, no nosso programa, os principais tópicos de pesquisa dentro dessa linha são:
- Análise Funcional
- Equações Diferenciais
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A linha de pesquisa Geometria e Dinâmica no nosso programa tem dois enfoques principais. Um deles, ligado à Geometria Riemanniana e Topologia diferencial, o outro ligado a aspectos quantitativos da teoria de Sistemas Dinâmicos com tempo discreto e suas propriedades estatísticas. A área de Geometria trata de problemas envolvendo a existência de propriedades métricas (como curvatura positiva ou paralelismo do tensor de curvatura) e simetrias (geralmente expresso através de uma folheação riemanniana). Procura-se, por exemplo, classificar as simetrias possíveis em espaços com as propriedades supracitadas, ou usar da existência de simetrias para encontrar obstrução para a existência de tais propriedades métricas. Já em Sistemas Dinâmicos, o panorama retratado é o estudo qualitativo dos sistemas que evoluem com o tempo através de ferramentas geométricas, topológicas e probabilísticas. Nas pesquisas realizadas neste programa abordamos principalmente os aspectos quantitativos da teoria de Sistemas Dinâmicos com tempo discreto e suas propriedades estatísticas através da Teoria Ergódica, que lida com transformações que preservam uma medida. Em particular temos contribuições no caso em que a medida preservada é infinita, onde a abordagem estatística em geral é mais complicada. A Dinâmica e a Geometria têm interfaces históricas em comum, por exemplo, trabalhos de Hopf e de Anosov provaram a ergodicidade para os fluxos geodésicos em variedades de curvatura negativa. Em geral, quando o sistema em questão tem origem geométrica, como é o caso do fluxo geodésico, espera-se que o estudo de suas características dinâmicas e ergódicas possa ajudar a elucidar propriedades da geometria que deu origem ao objeto tratado.
Dentre os tópicos de pesquisa dentro dessa área destacam-se, no nosso programa, o estudo de:
- Geometria Riemanniana
- Sistemas Dinâmicos
- Teoria Ergódica
- Topologia Diferencial
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A Matemática Discreta é o ramo da Matemática que lida com problemas, teóricos ou práticos, em que predomina o estudo de estruturas (conjuntos, estruturas algébricas, grafos, etc) em que não se requer a noção de continuidade.
Um tópico central da matemática discreta, é a Combinatória onde, além das ferramentas básicas de contagem, empregam-se funções geradoras, relações de recorrência, ação de grupos, etc. Aspectos combinatórios e aritméticos de sequências de números especiais (por exemplo: números de Fibonacci e de Lucas) são também de grande interesse, e ressaltam a relação desta com a Teoria aditiva dos números, onde o interesse é estudar propriedades de operações aditivas em anéis. Em especial, ao consideramos os inteiros, estamos falando das partições de inteiros, área influenciada por grandes matemáticos (incluindo: Euler, Cayley, Gauss, Jacobi, Lagrange, Legendre, Schur, Hardy, Rogers, Ramanujan). Já na Teoria algébrica dos números, um dos principais interesses é obter reticulados em R^n como a imagem de um homomorfismo aplicado a um Z-módulo contido no anel de inteiros algébricos de um algum corpo de números e, com isso, conseguir estudar algumas propriedades de reticulados que são difíceis de serem estudadas em R^n. É de grande interesse classificar famílias clássicas de reticulados em R^n que podem ser obtidas de tal maneira, como por exemplo as famílias Z^n, D^n, A^n, entre outras. Uma das principais aplicações da teoria algébrica dos números se dá na Teoria de Códigos Corretores de Erros e de Criptografia, onde o objetivo é o estudo de propriedades de códigos definidos sobre os anéis dos inteiros e dos inteiros módulo m em relação a uma dada métrica, visando classificar os códigos com respeito a certas aplicações específicas, como a correção de erros e o uso de códigos em criptossistemas pós-quânticos.
Os principais tópicos de pesquisa dentro dessa área no nosso programa são:
- Códigos Corretores de Erros
- Combinatória
- Teoria aditiva dos números
- Teoria algébrica dos números
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A linha de pesquisa Métodos de Matemática Aplicada tem um papel crucial no desenvolvimento de tecnologias inovadoras nas mais variadas áreas. Ela é baseada, em sua essência, na modelagem e na resolução de problemas oriundos das ciências em geral, constituindo tarefas altamente desafiadoras e estimulantes, tanto do ponto de vista teórico quanto prático. Para atacar tais problemas, muitas vezes tornam-se necessários o desenvolvimento e a implementação computacional de algoritmos eficientes com forte embasamento matemático.
Os docentes integrantes da linha de pesquisa em Métodos de Matemática Aplicada estão envolvidos nos seguintes temas de pesquisa:
- Aplicação da teoria de sistemas dinâmicos à biomatemática
- Processos estocásticos aplicados à modelagem de evolução viral
- Bioinformática e bioestatística com aplicação em estudos de associações genômicas
- Dinâmica orbital e Mecânica celeste
- Sistemas dinâmicos não lineares e controle de caos
- Métodos matemáticos de sistemas dinâmicos e de otimização aplicados à tecnologia e engenharia aeroespacial
- Propriedades e aplicações de polinômios ortogonais
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Na linha de pesquisa Otimização preocupa-se com a modelagem e o estudo de métodos para encontrar máximos e mínimos de funções, com ou sem restrições. Estes problemas são fundamentais na resolução de problemas oriundos da indústria e das ciências em geral. Modelos matemáticos de otimização resultam na melhora do processo da tomada de decisão. Nesta linha busca-se por resultados teóricos que reflitam em boas propriedades práticas relacionadas com métodos computacionais de otimização.
Os docentes integrantes da linha de pesquisa em Otimização estão envolvidos nos seguintes temas de pesquisa:
- Métodos computacionais de otimização não linear
- Desenvolvimento de heurísticas para problemas de otimização inteira mista
- Métodos otimização estrutural
- Problemas de equilíbrio
- Modelagem matemática
- Planejamento integrado de operações logísticas
- Otimização Cônica
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